Để chứng minh các phần trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước cho rõ ràng.

### Phần a: Chứng minh tứ giác AFDE là hình chữ nhật

1. **Tứ giác AFDE có các điểm như sau**:
- A là đỉnh của tam giác vuông tại A.
- D là trung điểm của BC.
- DE vuông góc với AB tại E.
- DF vuông góc với AC tại F.

2. **Để chứng minh tứ giác AFDE là hình chữ nhật**, ta cần chứng minh rằng:
- AF // DE và AE // DF.
- AF = DE và AE = DF.

3. **Chứng minh các cặp cạnh song song**:
- Vì DE vuông góc với AB và DF vuông góc với AC, trong tam giác vuông ABC, ta có:
- AB // DF
- AC // DE
- Do đó, AF // DE và AE // DF.

4. **Đo các độ dài**:
- Từ D đến E và từ D đến F đều là các đoạn thẳng vuông góc với hai cạnh, do đó có thể dễ dàng chỉ ra rằng độ dài AF bằng độ dài DE theo định nghĩa hình chữ nhật.

5. **Kết luận**: Tứ giác AFDE có các cặp cạnh song song và bằng nhau, suy ra AFDE là hình chữ nhật.

### Phần b: Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi

1. **Đặt G là điểm đối xứng của E qua D**:
- Điều này có nghĩa là DE = DG và DE // GH.

2. **Đặt H là điểm đối xứng của F qua D**:
- Điều này có nghĩa là DF = DH và DF // EG.

3. **Tứ giác EFGH có các đường chéo EG và FH**:
- Theo tính chất của tam giác vuông và các điểm đối xứng, thì EG = FH.

4. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau**:
- Sử dụng tính chất đối xứng và các điểm D, E, F, G, H, ta có các đôi đoạn EG, GH bằng nhau.

5. **Kết luận**: Tứ giác EFGH có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau, do đó là hình thoi.

### Phần c: Chứng minh HG = 1/2 BC

1. **Tính toán HG**:
- H là hình chiếu của D xuống AC, ta có H đường thẳng đi qua trung điểm D và E, F.
- Vì D là trung điểm của BC, nên BD = DC = 1/2 BC.

2. **Sử dụng các tính chất hình học**:
- Theo định nghĩa tứ giác hình thoi và các khối lượng trên, ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng:
- HG = GD - (DE + DF) = 1/2 BC (vì D là trung điểm và đối xứng).

3. **Kết luận**: Do đó, HG = 1/2 BC.

Tóm lại, tứ giác AFDE là hình chữ nhật, tứ giác EFGH là hình thoi và HG = 1/2 BC theo yêu cầu của bài toán.