Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB; BC; CD; DA lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ

Để giải quyết bài toán, ta sẽ dựa vào tính chất của hình vuông và các đoạn thẳng được cho.

**Giả sử:**
- Hình vuông ABCD có cạnh dài a.
- Các điểm M, N, P, Q nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho \(AM = BN = CP = DQ = x\).

### a) Chứng minh MB = NC = PD = QA:

- Tính các đoạn thẳng:
- MB = AB - AM = a - x
- NC = BC - BN = a - x
- PD = CD - CP = a - x
- QA = DA - DQ = a - x

Vì \(AM = BN = CP = DQ = x\) nên suy ra rằng:
\[ MB = NC = PD = QA = a - x \]

### b) Chứng minh tam giác QAM = tam giác NCP:

Ta cần chứng minh rằng hai tam giác \(QAM\) và \(NCP\) đồng dạng.

- Xét các cạnh:
- QAM:
+ QA = DQ = x (từ giả thiết)
+ AM = x
+ MQ = MB = a - x
- NCP:
+ NC = BN = x (từ thiết)
+ CP = x
+ PN = PD = a - x

Hai tam giác \(QAM\) và \(NCP\) có 2 cạnh tương ứng bằng nhau và có cạnh chung (MQ = PN = a - x), do đó hai tam giác này đồng dạng.

### c) Chứng minh MNPQ là hình vuông:

Ta cần chứng minh rằng MNPQ là hình vuông, tức là cả 4 cạnh MN, NP, PQ, QM đều bằng nhau và các góc vuông.

- Cạnh MN:
- MN = AB = x (vì M, N nằm trên cạnh AB và BC)

- Cạnh NP:
- NP = BC = a - x

- Cạnh PQ:
- PQ = CD = x (giống M và N ở trên)

- Cạnh QM:
- QM = DA = a - x

Do đó:
- MN = NP = PQ = QM = x (và góc tại mỗi đỉnh là 90 độ), cho nên MNPQ là hình vuông.

Vậy ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán:
a) \(MB = NC = PD = QA\)
b) Tam giác \(QAM = NCP\)
c) MNPQ là hình vuông.

Hy vọng những hướng dẫn trên giúp ích cho bạn!