Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. Lấy D là điểm đối xứng với H qua I. Chứng minh rằng: Tứ giác AHCD là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác AHCD là hình chữ nhật, ta có thể tiến hành theo các bước sau:

1. **Cấu trúc hình học**:
- Coi tam giác ABC với đường cao AH và I là trung điểm của AC.
- D là điểm đối xứng của H qua I.

2. **Tính chất trung điểm**:
- Vì I là trung điểm của AC, ta có \( AI = IC \).
- D là điểm đối xứng của H qua I, do đó:
- \( IH = ID \) (vì ID và IH là hai đoạn thẳng đối xứng qua I).

3. **Chứng minh các góc**:
- Trong tam giác vuông ABC thì \( AH \perp BC \).
- Cùng với đó, vì ID = IH, nên tam giác AHI và DHI là hai tam giác vuông và đồng dạng.
- Do đó, góc AHI = góc DHI = 90°.

4. **Chứng minh tứ giác AHCD**:
- Tứ giác AHCD có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và 2 góc vuông.
- Cụ thể, AC sẽ là cạnh đối diện với DH và AH sẽ là cạnh đối diện với CD.
- Vì vậy, AHCD là tứ giác có 4 góc vuông: \( \angle AHC = \angle AID = 90^\circ \) và \( \angle AHD = \angle DHC = 90^\circ \).

5. **Kết luận**:
- Vậy tứ giác AHCD là hình chữ nhật.

Bây giờ ta sẽ chứng minh hai phần còn lại theo yêu cầu:

### b) Chứng minh \( \angle DAC = \angle DHC \)

- Ta đã có rằng tam giác AHI và DHI là đồng dạng do chúng có các góc vuông và cạnh HI chung. Do đó:
\[
\angle DAC = \angle DHC
\]

### c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và DC

- Ta có:
- M là trung điểm của AH.
- N là trung điểm của DC.
- Vì D là đối xứng của H qua I, nên MN là đường trung bình của tứ giác AHCD.
- Như vậy, \( MN \) song song với \( AC \) và \( MN = \frac{1}{2}AC \).

Do đó, AC, DH, và MN đều song song và đồng quy.

### Kết luận chung

Từ các chứng minh trên, chúng ta đã chứng minh rằng tứ giác AHCD là hình chữ nhật, \( \angle DAC = \angle DHC \), và AC, DH, MN đều đồng quy.