Để chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành, ta thực hiện theo các bước sau đây:

### Phần a: Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

1. **Xét các tam giác:**
Từ giả thiết, AH ⊥ BD tại H và CK ⊥ BD tại K.

2. **Chứng minh hai cặp cạnh đối song song:**
- Cạnh AH vuông góc với cạnh BD, do đó AH song song với CK (cùng vuông góc với BD).
- Tương tự, CK cũng vuông góc với BD, vì vậy cạnh CK song song với cạnh AH.

3. **Chứng minh độ dài hai cặp cạnh bằng nhau:**
- Xét các tam giác vuông với cùng chiều cao từ H và K đến BD. Suy ra rằng chiều dài AH = CK (do cùng chiều cao và đáy BD).

4. **Kết luận:**
Với hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, ta có tứ giác AHCK là hình bình hành.

### Phần b: Chứng minh \( IB = ID \)

1. **Xét điểm I là trung điểm của HK:**
- Khi I là trung điểm của HK, ta có HI = IK.

2. **Chứng minh hai đoạn IB và ID bằng nhau:**
- Xét tam giác IBK và IDK. Ta có:
- HI = IK (vì I là trung điểm)
- AH = CK (từ phần a)
- HK là cùng một cạnh.
- Do đó, theo định lý Tam giác (cạnh - cạnh - cạnh), ta có IB = ID.

### Kết luận:
Như vậy, tứ giác AHCK là hình bình hành và \( IB = ID \).