Để chứng minh tứ giác \( ADEF \) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cạnh đối diện của nó là song song và bằng nhau, hoặc một trong các góc của tứ giác là 90 độ.

### a. Chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật:

1. **Tính chất tam giác vuông:** Vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có \( \angle A = 90^\circ \).

2. **Xác định tọa độ trung điểm:** Giả sử tọa độ các đỉnh của tam giác \( ABC \) như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(0, b) \)

Tọa độ các trung điểm:
- Tọa độ \( D \) (trung điểm của \( AB \)) là \( D\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- Tọa độ \( E \) (trung điểm của \( BC \)) là \( E\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \)
- Tọa độ \( F \) (trung điểm của \( CA \)) là \( F\left(0, \frac{b}{2}\right) \)

3. **Tính độ dài các cạnh:**
- Cạnh \( AD \):
\[
AD = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{a}{2}
\]
- Cạnh \( EF \):
\[
EF = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right)^2} = \frac{a}{2}
\]
- Cạnh \( DE \):
\[
DE = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{b}{2}\right)^2} = \frac{b}{2}
\]
- Cạnh \( AF \):
\[
AF = \sqrt{\left(0 - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \frac{b}{2}
\]

4. **Chứng minh các cặp cạnh đối diện bằng nhau:**
- \( AD = EF \) và \( DE = AF \)

5. **Chứng minh góc:**
- \( \angle ADE = 90^\circ \) do \( A \) là góc vuông của tam giác \( ABC \).

Vậy, tứ giác \( ADEF \) có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và có một góc vuông, cho nên \( ADEF \) là hình chữ nhật.

### b. Điều kiện để tứ giác ADEF là hình vuông:

Để tứ giác \( ADEF \) là hình vuông, không chỉ cần nó phải là hình chữ nhật mà còn phải có tất cả các cạnh bằng nhau.

1. **Điều kiện cho \( ADEF \) là hình vuông:**
- Từ kết quả tính toán ở trên:
\[
AD = EF = \frac{a}{2}
\]
\[
DE = AF = \frac{b}{2}
\]
- Để \( ADEF \) là hình vuông, ta cần \( \frac{a}{2} = \frac{b}{2} \), hay \( a = b \).

Vậy, điều kiện để tứ giác \( ADEF \) là hình vuông là tam giác \( ABC \) phải là tam giác vuông cân, tức là \( AC = AB \).