Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm
- Gọi A(0, 0), B(12, 0), C(12, 8), D(0, 8).
- Điểm E nằm trên đoạn BC, và theo đề bài ta có \( EC = \frac{1}{3} CB \).
- Đoạn BC = 8 cm, do đó \( CB = 8 \) cm. Vậy \( EC = \frac{1}{3} \cdot 8 = \frac{8}{3} \) cm.
- Suy ra \( BE = BC - EC = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \) cm.
- Do đó, điểm E có tọa độ: \( E(12, \frac{16}{3}) \).

### Bước 2: Tìm các phương trình đường thẳng
- Đường thẳng AC:
- Điểm A(0, 0) và C(12, 8). Độ dốc \( m_{AC} = \frac{8 - 0}{12 - 0} = \frac{2}{3} \).
- Phương trình AC: \( y = \frac{2}{3}x \).

- Đường thẳng DE:
- Điểm D(0, 8) và E(12, \frac{16}{3}). Độ dốc \( m_{DE} = \frac{\frac{16}{3} - 8}{12 - 0} = \frac{\frac{16}{3} - \frac{24}{3}}{12} = \frac{-\frac{8}{3}}{12} = -\frac{2}{9} \).
- Phương trình DE: \( y - 8 = -\frac{2}{9}x \) hay \( y = -\frac{2}{9}x + 8 \).

### Bước 3: Tìm giao điểm I của AC và DE
- Giải hệ phương trình:
\[
\frac{2}{3}x = -\frac{2}{9}x + 8
\]
Nhân cả hai vế với 9:
\[
6x = -2x + 72 \implies 8x = 72 \implies x = 9
\]
Thay vào phương trình của AC để tìm y:
\[
y = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6
\]
Vậy \( I(9, 6) \).

### a) Tính diện tích hình thang AECD
- Hình thang AECD có đáy AE và CD:
- Độ dài AE: \( AE = \sqrt{(12 - 0)^2 + \left(\frac{16}{3} - 0\right)^2} = \sqrt{12^2 + \left(\frac{16}{3}\right)^2} = \sqrt{144 + \frac{256}{9}} = \sqrt{\frac{1296 + 256}{9}} = \sqrt{\frac{1552}{9}} = \frac{\sqrt{1552}}{3} \).
- Chiều dài CD = 12 cm (đã biết).

Diện tích hình thang:
\[
S_{AECD} = \frac{1}{2} (AE + CD) \cdot h
\]
Trong đó h là chiều cao (AD = 8 cm).
Ta có:
\[
S_{AECD} = \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{1552}}{3} + 12\right) \cdot 8
\]

### b) Tính diện tích tam giác IEC
- Tam giác IEC có độ dài cạnh:
- \\( IE = \sqrt{(12 - 9)^2 + \left(\frac{16}{3} - 6\right)^2} = \sqrt{3^2 + \left(\frac{16}{3} - \frac{18}{3}\right)^2} = \sqrt{3^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{81 + 4}{9}} = \sqrt{\frac{85}{9}} = \frac{\sqrt{85}}{3} \\)

Diện tích tam giác sẽ:
\[
S_{IEC} = \frac{1}{2} \cdot IE \cdot h
\]
Trong đó h là khoảng cách từ I đến DE. Tính toán để có kết quả.

Từ đây, bạn có thể tiếp tục tính diện tích theo công thức. Nếu cần, mình có thể hỗ trợ hoàn tất tính toán cho từng phần.