a) Xét ΔADCΔADC và ΔABEΔABE có:

AD=ABAD=AB (giả thiết)

ˆDAC=ˆBAEDAC^=BAE^ (=90o+ˆBAC)(=90o+BAC^)

AC=AEAC=AE (giả thiết)

⇒ΔADC=ΔABE⇒ΔADC=ΔABE (c.g.c)

⇒CD=EB⇒CD=EB (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

Gọi CD∩BE=FCD∩BE=F và CD∩AB=GCD∩AB=G để chứng minh CD⊥BECD⊥BE cần chứng minh ˆF1=90oF1^=90o thật vậy:

Xét ΔGBFΔGBF có

ˆG1+ˆB1+ˆF1=180oG1^+B1^+F1^=180o (tổng 3 góc trong một tam giác)

⇒ˆF1=180o−(ˆG1+ˆB1)⇒F1^=180o−(G1^+B1^)

mà ˆG1=ˆG2G1^=G2^ (đối đỉnh) và

ˆB1=ˆADCB1^=ADC^ (ΔADC=ΔABEΔADC=ΔABE hai góc tương ứng)

⇒ˆG1+ˆB1=ˆG2+ˆADC=180o−ˆDAB=180o−90o=90o⇒G1^+B1^=G2^+ADC^=180o−DAB^=180o−90o=90o

⇒ˆF1=180o−90o=90o⇒F1^=180o−90o=90o

⇒DC⊥BE⇒DC⊥BE (đpcm)

b) Xét ΔΔ vuông ADIADI và ΔΔ vuông BAHBAH có:

AD=BAAD=BA (giả thiết)

ˆIAD=ˆHBAIAD^=HBA^ (do cùng cộng với ˆBAHBAH^ bằng 90^o)

⇒ΔADI=ΔBAH⇒ΔADI=ΔBAH (ch-gn)

⇒ID=HA⇒ID=HA (hai cạnh tương ứng) (đpcm) (1)

c) Xét ΔΔ vuông AHCAHC và ΔΔ vuông EKAEKA có:

AC=EAAC=EA (giả thiết)

ˆHCA=ˆKAEHCA^=KAE^ (cùng cộng với ˆHACHAC^ bằng 90^o)

⇒ΔAHC=ΔEKA⇒ΔAHC=ΔEKA (ch-gn)

⇒AH=EK⇒AH=EK (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ID=EKID=EK

và gọi DE∩IK=J⇒ˆKJE=ˆIJDDE∩IK=J⇒KJE^=IJD^ (đối đỉnh)

⇒Δ⇒Δ vuông KJE=ΔKJE=Δ vuông IJDIJD (cgv-gn)

⇒KJ=IJ⇒KJ=IJ và EJ=DJ⇒JEJ=DJ⇒J là trung điểm của KI và ED

⇒DE⇒DE và IKIK có trung điểm J trung (đpcm)

a) Xét ΔADCΔADC và ΔABEΔABE có:

AD=ABAD=AB (giả thiết)

ˆDAC=ˆBAEDAC^=BAE^ (=90o+ˆBAC)(=90o+BAC^)

AC=AEAC=AE (giả thiết)

⇒ΔADC=ΔABE⇒ΔADC=ΔABE (c.g.c)

⇒CD=EB⇒CD=EB (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

Gọi CD∩BE=FCD∩BE=F và CD∩AB=GCD∩AB=G để chứng minh CD⊥BECD⊥BE cần chứng minh ˆF1=90oF1^=90o thật vậy:

Xét ΔGBFΔGBF có

ˆG1+ˆB1+ˆF1=180oG1^+B1^+F1^=180o (tổng 3 góc trong một tam giác)

⇒ˆF1=180o−(ˆG1+ˆB1)⇒F1^=180o−(G1^+B1^)

mà ˆG1=ˆG2G1^=G2^ (đối đỉnh) và

ˆB1=ˆADCB1^=ADC^ (ΔADC=ΔABEΔADC=ΔABE hai góc tương ứng)

⇒ˆG1+ˆB1=ˆG2+ˆADC=180o−ˆDAB=180o−90o=90o⇒G1^+B1^=G2^+ADC^=180o−DAB^=180o−90o=90o

⇒ˆF1=180o−90o=90o⇒F1^=180o−90o=90o

⇒DC⊥BE⇒DC⊥BE (đpcm)

b) Xét ΔΔ vuông ADIADI và ΔΔ vuông BAHBAH có:

AD=BAAD=BA (giả thiết)

ˆIAD=ˆHBAIAD^=HBA^ (do cùng cộng với ˆBAHBAH^ bằng 90^o)

⇒ΔADI=ΔBAH⇒ΔADI=ΔBAH (ch-gn)

⇒ID=HA⇒ID=HA (hai cạnh tương ứng) (đpcm) (1)

c) Xét ΔΔ vuông AHCAHC và ΔΔ vuông EKAEKA có:

AC=EAAC=EA (giả thiết)

ˆHCA=ˆKAEHCA^=KAE^ (cùng cộng với ˆHACHAC^ bằng 90^o)

⇒ΔAHC=ΔEKA⇒ΔAHC=ΔEKA (ch-gn)

⇒AH=EK⇒AH=EK (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ID=EKID=EK

và gọi DE∩IK=J⇒ˆKJE=ˆIJDDE∩IK=J⇒KJE^=IJD^ (đối đỉnh)

⇒Δ⇒Δ vuông KJE=ΔKJE=Δ vuông IJDIJD (cgv-gn)

⇒KJ=IJ⇒KJ=IJ và EJ=DJ⇒JEJ=DJ⇒J là trung điểm của KI và ED

⇒DE⇒DE và IKIK có trung điểm J trung (đpcm)