a]
G/s AO, AO' cắt BC, BD tại M, N
Do OO'//(BCD) => OO'//MN
=> AO/OM = AO'/O'N
Mà BO, BO' là phân giác của tg ABM, ABN
=> AO/OM= AB/BM (theo định lý đường phân giác)
=> AO'/O'N = AB/BN
=> BM=BN (*)
Mặt khác do AM là phân giác tg ABC => CM/BM = AC/AB
=> CN/BM +1 = AC/AB +1
=> BC/BM = (AC+AB)/AB
=> BM = AB.BC/(AC+AB)
Tương tự => BN = AB.BD/(AB+BD)
Từ (*) => AB.BC/(AC+AB) = AB.BC/(AB+BD)
=> BC/BD = (AB+ AC)/(AB+ AD) (**)
Ngược lại nếu đã có (**) => BM =BN => AO/OM= AO'/O'N
=> OO' //(BCD)
b]
G/s OO'// mp(BCD) và mp(ACD) từ câu a, ta có:
BC/BD = (AB+ AC)/(AB+ AD) (1*)
AC/AD = (BC+AB)/(BD+AB) (2*)
Từ (1*) => BC/BD = (AB+AC +BC)/(AB+AD+BD) {Quy tắc tỷ lệ thức}
Từ (2*) => AC/AD=(BC+AB+AC)/(BD+AB+AD)
=> BC/BD =AC/AD
=> AC/AD = (AB+AC)/(AB+AD), biến đổi => AC =AD
Tương tự BC/BD = (BC+AB)/(BD+AB) => BC=BD
Ngược lại nếu BC=BD; AC=AD thì suy ra
BC/BD = (AB+ AC)/(AB+ AD) =1 => OO'//(BCD) (theo cm câu a)
AC/AD = (BC+AB)/(BD+AB) =1 => OO' //(ACD)

câu b
G/s OO'// mp(BCD) và mp(ACD) từ câu a, ta có:
BC/BD = (AB+ AC)/(AB+ AD) (1*)
AC/AD = (BC+AB)/(BD+AB) (2*)

Từ (1*) => BC/BD = (AB+AC +BC)/(AB+AD+BD) {Quy tắc tỷ lệ thức}
Từ (2*) => AC/AD=(BC+AB+AC)/(BD+AB+AD)
=> BC/BD =AC/AD
=> AC/AD = (AB+AC)/(AB+AD), biến đổi => AC =AD
Tương tự BC/BD = (BC+AB)/(BD+AB) => BC=BD

Ngược lại nếu BC=BD; AC=AD thì suy ra
BC/BD = (AB+ AC)/(AB+ AD) =1 => OO'//(BCD) (theo cm câu a)
AC/AD = (BC+AB)/(BD+AB) =1 => OO' //(ACD)

tg là j đấy bạn ơi