a)Xét $∆$ABC ta có:
   MN là đường trung bình $\Rightarrow$MN$\parallel$BP(P $\in$BC)
   NP là đường trung bình $\Rightarrow$NP$\parallel$MB(M$\in$AB)
$\iff$Tứ giác BMNP là hình bình hành
b)Xét tứ giác AKBH, ta có:
   KM=MH(M$\in$KH)
   AM=MB(M$\in$AB)
$\iff$AKBH là hình bình hành
Mà $\widehat{AHB}$=${90}^o$nên tứ giác AKBH là hình chữ nhật(đpcm)
c)Xét $∆$BMH ta có:
   BM=MH(tính chất của hcn)
 $\iff$$∆$BMH cân$\iff$$\widehat{MBH}=\widehat{MHB}$(1) 
Ta co $\widehat{MBH}=\widehat{MNP}$(tính chất của hbh)(2) và $\widehat{MHB}=\widehat{HMN}(MN\parallel BH)$(3)
Từ (1),(2) va (3) suy ra $\widehat{MNP}=\widehat{HMN}$ hay MNPH  cân(đpcm)
d)AB$\cap$OH=F(AB cắt OH)
    Xét $∆KOH$ ta có:
     MF là đường trung bình$\Rightarrow$MF$\parallel$KO 
    Xét tứ giác OKAB ta có  MA$\parallel$KO(M$\in$AF)$\iff$là hình thang
     Mà:
     $$\begin{gathered} \widehat{AFO}={90}^o\Rightarrow \widehat{KOF}={180}^o-\widehat{AFO} \\ ={90}^o hay KO\perp OH(F\in OH) \end{gathered}$$