a) Xét tam giác ACE có: DC vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác ACE

⇒ΔACE cân tại C (1)

Vì ABCD là hình vuông (gt)

⇒AC là tia phân giác của góc BCD (tc)

 ⇒ˆC1=ˆC2=1/2.ˆC=1/2.90=45

Mà ACE là tam giác cân tại C(cmt)

⇒DC là phân giác của ˆACE

⇒ˆC1=ˆDCE=1/2ˆACE Mà ˆC1=45

⇒45=1/2ˆACE

⇒ˆACE=90(2)

Từ (1) và (2) ⇒ACE là tam giác vuông cân.

b) Xét tam giác AHE có: 

M là trung điểm của AH (gt) , N là trung điểm của HE (gt)

⇒MN là đường trung bình tam giác AHE

⇒MN//AE và MN=1/2AE 

⇒MN//AD và MN=AD ( AD=DE=1/2AE)

Mà AD//BC và AD=BC ( vì ABCD là hình vuông )

⇒MN//BC và MN=BC 

Xét  tứ giác BMNC có:

MN//BC(cmt)MN=BC(cmt)⇒DMNC là hình bình hành

c) Ta có: AD⊥AB          AD//MN⇒MN⊥AB 

Xét tam giác ANB có:

 MN⊥BA(cmt)   AH⊥NB(gt)  và MN cắt AH tại M

 ⇒Mlà trực tâm tam giác ANB

d) Vì BMNC là hình bình hành (cmt)

⇒BM//NC (3)

Vì M là trực tâm tam giác ANB(cmt)

⇒BM⊥AN (4)

Từ (3) và (4) ⇒NC⊥AN 

⇒ˆANC=90