Trong 31 số đã cho có ít nhất 1 số là số dương đó (vì nếu 31 số đã cho đêu âm thì tổng của 5 số bất kì không thể là 1 số dương)

Tách riêng số riêng đó ra còn 30 số , nhóm 5 số vào 1 nhóm thì được 6 nhóm . Trong đó nhóm nào cũng là 1 số dương .

⇒ Tổng của 30 số là 1 số dương cộng thêm 1 số dương đã tách .

Vậy tổng của 31 số đó là 1 số dương.

Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết.
Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương.