a) Ta có: $∆\text{'}=$${(m+1)}^2-1.2m$=$m^2+2m+1-2m$ $$\begin{gathered} =m^2+1 \\ Vì m^2\ge 0\forall m\Rightarrow m^2+1>0\forall m \end{gathered}$$
Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1 và x_2\forall m$
b) Áp dụng hệ thức Viet ta có :$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2(m+1)\\ x_1.x_2=2m\end{array}\right. (*)$
Theo bài ra ta có: $x_1 và x_2 là 2$cạnh góc vuông của tam giác có cạnh huyền là $2\sqrt{5}$ nên:
${x_1}^2+{x_2}^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2 \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1.x_2=20 \left(1\right)$ 
Thay (*) vào (1) ta được:
$$\begin{gathered} {\left[2\left(m+1\right)\right]}^2-2.2m=20 \iff 4\left(m^2+2m+1\right)-4m=20 \\ \iff 4m^2+8m+4-4m=20 \\ \iff 4m^2+4m+4=20 \\ \iff 4\left(m^2+m+1\right)=20 \\ \iff m^2+m+1=5 \\ \iff m^2+m-4=0 \\ \iff m=\frac{-1+\sqrt{17}}{2} hoặc m=\frac{-1-\sqrt{17}}{2} \end{gathered}$$
Vậy với $m=\frac{-1+\sqrt{17}}{2} hoặc m=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$ thì yêu cầu bài toán thỏa mãn