a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. 

Ta có ∠BFC=∠BEC=90o∠BFC=∠BEC=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒∠AFH=∠AEH=90o⇒∠AFH=∠AEH=90o

Tứ giác AEHF có: ∠AFH+∠AEH=180o∠AFH+∠AEH=180o

Mà hai góc này là hai góc đối diện của tứ giác AEHFAEHF

⇒⇒ AEHF là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF . Tính số đo cung EHF , diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I)(I) nếu ∠BAC=60o,AH=4cm∠BAC=60o,AH=4cm.

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF mà ∠AFH=∠AEH=90o∠AFH=∠AEH=90o

⇒⇒ I là trung điểm của AH ⇒AI=AH2=2cm⇒AI=AH2=2cm

Xét (I)(I) có: ∠BAC=60o∠BAC=60o

⇒⇒ sđ cung EHFEHF=2.∠BAC=120o=2.∠BAC=120o (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).

Diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I)(I) là:

S=π.r2.no360o=π.22.120o360o=43π(cm2)S=π.r2.no360o=π.22.120o360o=43π(cm2)

c) Gọi AH cắt BC tại D .Chứng minh FH là tia phân giác của∠DFE∠DFE.

Ta có: ∠BFC,∠BEC∠BFC,∠BEC là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O).(O).

⇒∠BEC=∠BFC=900hayBE⊥AC,CF⊥AB.⇒∠BEC=∠BFC=900hayBE⊥AC,CF⊥AB.

Xét ΔABCΔABC có: BE⊥AC;CF⊥AB(cmt)BE⊥AC;CF⊥AB(cmt) mà CF∩BE={H}CF∩BE={H}

⇒⇒ H là trực tâm của ΔABCΔABC ⇒AH⊥BC={D}.⇒AH⊥BC={D}.

Xét tứ giác BFHD có: ∠HFB+∠HDB=90o+90o=180o∠HFB+∠HDB=90o+90o=180omà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒⇒ Tứ giác BFHD nội tiếp đường tròn (dhnb).

⇒∠HBD=∠HFD⇒∠HBD=∠HFD  (các góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

Tứ giác AEHF nội tiếp (cmt) ⇒∠HFE=∠HAE⇒∠HFE=∠HAE (các góc nội tiếp cùng chắn cung HE).

Mà ∠HBD=∠HAE∠HBD=∠HAE  (cùng phụ với ∠ACB∠ACB) ⇒∠HFE=∠HFD⇒∠HFE=∠HFD

⇒⇒ FH là tia phân giác của ∠DFE∠DFE. (đpcm)

d) Chứng minh rằng hai tiếp tuyến của (O)(O) tại E , F và AH đồng quy tại một điểm.

Xét ΔAEHΔAEH vuông tại E có : I  là trung điểm của AH ⇒IE=IH⇒IE=IH

⇒ΔIEH⇒ΔIEH cân tại I ⇒∠IEH=∠IHE⇒∠IEH=∠IHE (hai góc kề đáy)

Mà ∠BHD=∠IHE∠BHD=∠IHE (đối đỉnh)

∠BHD=∠ECO∠BHD=∠ECO (cùng phụ với ∠EBC∠EBC)

∠ECO=∠OEC∠ECO=∠OEC (ΔOECΔOEC cân tại O)

⇒∠IEH=∠OEC⇒∠IEH=∠OEC

Mặt khác:∠OEC+∠OEH=90o⇒∠IEH+∠OEH=90o⇒∠OEI=90o∠OEC+∠OEH=90o⇒∠IEH+∠OEH=90o⇒∠OEI=90o

⇒⇒ EI là tiếp tuyến của (O)(O) tại E 

Chứng minh tương tự có : FI là tiếp tuyến của (O)(O) tại F mà I là trung điểm của AH 

⇒⇒ Hai tiếp tuyến của (O)(O) tại E , F và AH đồng quy tại I  (đpcm).