a) +) Chứng minh CC thuộc đường tròn (O):(O):

Xét ΔBHO và ΔCHO ta có:

OHchung∠OHB=∠OHC=900BH=HC(gt)⇒ΔBHO=ΔCHO(c−g−c).

⇒OB=OC=R (hai cạnh tương ứng)

⇒C thuộc đường tròn .(O).  (đpcm)

+) Chứng minh ACAC là tiếp tuyến của đường tròn (O):(O):

Ta có: ΔBHO=ΔCHO(cmt)⇒∠BOH=∠COHΔBHO=ΔCHO(cmt)⇒∠BOH=∠COH (hai góc tương ứng).

Xét ΔABOΔABO và ΔACOΔACO ta có:

BO=OC(=R)∠BOA=∠COA(cmt)OAchung⇒ΔABO=ΔACO(c−g−c).BO=OC(=R)∠BOA=∠COA(cmt)OAchung⇒ΔABO=ΔACO(c−g−c).

⇒∠ABO=∠ACO=900⇒∠ABO=∠ACO=900 (hai góc tương ứng)

Hay OC⊥ACOC⊥AC

⇒AC⇒AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)(O) tại C.C. (đpcm)

b) Xét ΔOHKΔOHK và ΔOIAΔOIA ta có:

∠KOHchung∠OIA=∠OHK=900⇒ΔOHK∼ΔOIA(g−g)∠KOHchung∠OIA=∠OHK=900⇒ΔOHK∼ΔOIA(g−g)

⇒OHOI=OKOA⇒OH.OA=OK.OI⇒OHOI=OKOA⇒OH.OA=OK.OI (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

 Xét ΔABOΔABOvuông tại BB có  đường caoBHBH ta có:

⇒BO2=OH.OA⇒OH.OA=R2⇒OH.OA=OI.OK=R2(dpcm).⇒BO2=OH.OA⇒OH.OA=R2⇒OH.OA=OI.OK=R2(dpcm).

c) Theo câu b) ta có: OI.OK=R2⇒OK=R2OIOI.OK=R2⇒OK=R2OI  không đổi.

Mà KK thuộc OIOI cố định nên KK cố định.

Vậy khi AA thay đổi trên đường thẳng dd thì đường thẳng BCBC luôn đi qua điểm KK cố định.