Bài 8: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 66 trang 49 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Dựa vào kết quả của bài 65, hãy chứng minh rằng:

a. Các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

b. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Lời giải:

a. Kẻ đường trung trực của AC cắt BC tại K

Nối AK.

Ta có: KA = KC (tính chất đường trung trực)

Suy ra: Δ KAC cân tại K

Suy ra: ∠(KAC) = ∠C (1)

Lại có: ∠C + ∠B = 90^o (t/chất tam giác vuông) (2)

Mà: ∠(KAC) + ∠(KAB) = ∠(BAC) = 90^o (3)

Suy ra: Δ KAB cân tại K ⇒ KA = KB

Suy ra: K thuộc đường trung trực của AB

Do đó K là giao điểm ba đường trung trực của Δ ABC

Suy ra: KB = KC = KA ⇒ K là trung điểm của BC

Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm cạnh huyền

b. Giả sử Δ ABC có ∠A = 90^o.

Gọi M là trung điểm của BC.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

Xét Δ AMC và Δ BMD, ta có:

BM = CM (gt)

∠(AMC) = ∠(BMD) (đối đỉnh)

MA = MD (theo cách vẽ)

Suy ra: Δ AMC = Δ BMD (c.g.c) ⇒ ∠(MAC) = ∠D (hai góc tương ứng)

Suy ra: BD // AC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Mà: AC ⊥ AB (gt)

Suy ra: BD ⊥ AB hay ∠(ABD) = 90^o

Xét Δ ABC và Δ BAD, ta có:

∠(BAC) = ∠(ABD) = 90^o

AB cạnh chung

BD = AC (vì Δ AMC = Δ BMD)

Suy ra: Δ ABC = Δ BAD (c.g.c) ⇒ AD = BC

Mà AM = MD = 1/2 AD nên AM = 1/2 BC

Vậy trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.