Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Gọi d là đường thẳng bất kì đi qua A và cắt BC tại M. Kẻ BH vuông d tại H, CK vuông d tại K. Chứng minh tam giác BHA = tam giác AKC

Để chứng minh rằng tam giác \( BHA \) bằng tam giác \( AKC \), chúng ta có thể sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và các hình học cơ bản.

1. **Các điểm đã cho**:
- Gọi \( A \) là đỉnh vuông của tam giác vuông \( ABC \), với \( AB = AC \).
- Gọi đường thẳng \( d \) bất kỳ đi qua \( A \) và cắt cạnh \( BC \) tại \( M \).
- Kẻ đường cao \( BH \) vuông góc với \( d \) tại \( H \).
- Kẻ đường cao \( CK \) vuông góc với \( d \) tại \( K \).

2. **Chứng minh**:
- Ta có năm điểm: \( A, B, C, H, K \).
- Xét các góc của hai tam giác \( BHA \) và \( AKC \).

- **Góc \( BHA \)**:
- Góc \( BAH = 90^\circ \) (do \( BH \) vuông góc với \( d \)).
- Góc \( ABH \): góc này là chung cho tam giác \( BHA \).

- **Góc \( AKC \)**:
- Góc \( AKC = 90^\circ \) (do \( CK \) vuông góc với \( d \)).
- Góc \( KAC \): góc này cũng là chung cho tam giác \( AKC \).

3. **Xét các cạnh**:
- Hai cạnh \( AH \) và \( AK \) đều là độ dài từ đỉnh \( A \) đến hai điểm trên đường thẳng \( d \), điều này có nghĩa rằng:
- \( AH = AK \).
- Do đó, trong tam giác \( BHA \) và tam giác \( AKC \), chúng ta đã có:
- Một cặp cạnh \( AH = AK \),
- Một cặp góc chung \( \angle ABH = \angle KAC \),
- Cả hai tam giác đều có một góc vuông.

4. **Áp dụng định lý đồng dạng**:
- Từ hai cặp góc và cạnh, chúng ta áp dụng tiêu chí đồng dạng tam giác \( (góc-góc-góc) \) cho hai tam giác \( BHA \) và \( AKC \), suy ra:
\[
\triangle BHA \sim \triangle AKC
\]

5. **Kết luận**:
- Do \( \triangle BHA \) và \( \triangle AKC \) đồng dạng (tỉ lệ các cạnh tương ứng của hai tam giác là như nhau), nên ta có \( \triangle BHA = \triangle AKC \).

Do đó, chúng ta đã chứng minh được \( \triangle BHA \) bằng \( \triangle AKC \).