câu 5
áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có
(a + b)^2 + (a + b)/2 >= 2.(a + b).√((a + b)/2)
mà a + b >= 2√(ab) (cô si 2 số ko âm)
suy ra VT >= 4√(ab).√((a + b)/2)
ta chứng minh bdt: 2.(a + b) >= (√(a) + √(b))^2
thật vậy xét hiệu, ta được
2(a + b) - (a + 2√(ab) + b) >= 0
suy ra a + b - 2√(ab) >= 0
suy ra (√(a) - √(b))^2 >= 0 với mọi a, b
suy ra bất đẳng thức trên được chứng minh, áp dụng, ta được
VT >= 4√(ab).√((√(a) + √(b))/2)^2
= 2√(ab).(√(a) + √(b))
= 2a√(b) + 2b√(a) = VP
dấu bằng xảy ra khi a = b

từ đề bài ta có (a+b)²/2 +(a+b)/2 >= a√b +b√a (1)
xét vế trái của (1) ta có:
(a+b)²/2 +(a+b)/2 = [(a+b)/2](a +b +1/2) = [(a+b)/2](a +1/4 +b +1/4]
>=√(ab)[2√(a.1/4)+2√(b.1/4)] = √(ab)(√a+√b) = a√b +b√a (áp dụng BĐT CÔ-SI)
vậy (1) được chứng minh rồi suy ngược ra đề bài
dấu "=" xảy ra khi a=b=1/4