2
2.↑AK = ↑AB + ↑AC (1) 
2.↑BM = ↑BA + ↑BC (2) 
=> 2.↑AK +2.↑BM = ↑AC + ↑BC (3) 
(3) +(1): 
4.↑AK + 2.↑BM = 2.↑AC + ↑AB + ↑BC = 2.↑AC + ↑AC = 3.↑AC 
=> ↑CA = - 4/3.↑AK - 2/3.↑BM = - 4/3.↑u - 2/3.↑v 
(3) +(2): 
4.↑BM + 2.↑AK = ↑BA +↑AC + 2.↑BC = 3.↑BC 
=> ↑BC = 4/3.↑BM + 2/3.↑AK = 4/3.↑v + 2/3.↑u 
↑AB =↑AC + ↑CB = 4/3.↑u + 2/3.↑v - 4/3.↑v - 2/3.↑u = 2/3.(↑u - ↑v)

3
Ta có MB = 3MC (gt) 
<=> AB - AM = 3AC - 3AM 
<=> 2AM = 3AC - AB (đpcm) 

4
/ (Nhớ vẽ hình nhá) 
Vì M là trung điểm BC => DB + DC = 2DM 
Vế trái: 2OA + OB + OC 
= 2DA - 2 DO + DB - DO + DC - DO 
= 2DA + 2DM - 4DO 
= 2(DA + DM) - 4DO 
= 2 x véctơ O - 4DO (Vì D là trung điểm AM => DA + DM = O) 
= - 4DO 
= 4OD (đpcm) 

5
2MN (1) 
AC + BD (2) 
BC + AD (3) 

Từ (2), ta có: 
(2) = AD + DC + BD = AD + BC = (3) (a) 
Vì M là trung điểm AB 
=> AM +BM = O (véctơ không) 
AN - MN + BN - MN = O 
AN + BN = 2 MN (b) 
Ta có: AN = AD + DN (4) 
BN = BC + CN (5) 
Thay (4), (5) vào (a), ta có: 
AD + DN + BC + CN = 2 MN 
AD + BC = 2 MN = (3) (c) 
Từ (a) và (c) => 2MN = AC + BD = AD + BC (đpcm) 

6
Gọi O là trung điểm của AB.Ta viết: 
3.vtKA +2.vtKB = vt0 <=> 3( vtKO + vtOA) +2 (vtKO + vtOB) = vt0. 
<=> 5.vtKO +vtOA +2.(vtOA +vtOB) = vt0. 
<=> vtOA = 5.vtOK ( vì vtOA + vtOB = vt0). 
Vì vậy: Điểm K nằm trên AB, cách O một đoạn bằng 1/5 OA và O, K, A theo thứ tự đó.

7
Kẻ đường trung tuyến CD của ∆ABC. 
Vectơ MA +Vectơ MB + 2Vectơ MC = 2Vectơ MD + 2Vectơ MC = Vectơ 0 
=> Vectơ CM = Vectơ MD => M là trung điểm của CD. 
=> M là trung điểm của đường trung tuyến kẻ từ C của ∆ABC.

8

9
Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại I, AC tại K, 
đường thẳng song song với CA cắt BC tại P, AB tại Q, 
đường thẳng song song với AB cắt AC tại N, BC tại R. 
Dễ dàng chứng minh các tứ giác AQMN, BIMR, CPMK là các hình bình hành 
và các tam giác MPR, MNK, MIQ là các tam giác đều. 
Ta có: 
2vtMD = vtMR + vtMP 
2vtME = vtMN + vtMK 
2vtMF = vtMI + vtMQ 
=> 2(vtMD + vtME + vtMF) = (vtMP + vtMK) + (vtMN + vtMQ) + (vtMI + vtMR) 
<=> 2(vtMD + vtME + vtMF) = vtMA + vtMB + vtMC = 3vtMO (tính chất trọng tâm) 
Vậy: vtMD + vtME + vtMF = 3/2 vtMO

1) Tac có: AB+AC+AD=(AB+AD)+AC
=2AC( quy tắc hình bình hành )

2) +)AB=AK+KB
=Ak+MB-MK
=AK-BM-1/2AB
=>3/2AB=AK-BM
=>AB=2/3AK-2/3BM
+)BC=BM+MC
=BM+1/2AC
=BM+1/2AK+1/2KC
=BM+1/2AK+1/4BC
=>3/4BC=1/2AK+BM
=>BC=2/3AK+4/3BM
Suy ra: CA=-(AB+BC)=-(2/3AK-2/3BM+2/3AK+4/3BM)=-4/3AK-2/3BM.