a/ Vì BE ┴ AC
CF ┴ AB
Nên BCEF là tứ giác nội tiếp
b/ Vì ɅKCA = Cung AC : 2 = 1┴
Nên: KC ┴ AC
Mà BE ┴ AC
=> BE // KC
Chứng minh tương tự được: CF // KB
Vậy BKCH là hình bình hành
c/ Nối A và H kéo dài cắt BC tại N
Dễ thấy AEHF là tứ giác nội tiếp nên ɅEAH = ɅEFH
Tứ giác BCEF nội tiếp nên ɅEFH = ɅEBC
=> ɅEBC = ɅEAH
Mà ɅAHE = ɅBHN (đđ)
=> ɅEBC + ɅNHB = ɅEHA + ɅEAH = 1┴
Hay AH ┴ BC
Do đó theo định nghĩa trực tâm ∆ thì H là trực tâm ∆ ABC
d/ Dễ thấy ∆ AEB ﺹ  ∆ AFC
Nên AE.AC = AF.AB (1)
Dễ thấy ∆ AEI ﺹ  ∆ AIC
Nên AI.AI = AE.AC (2)
Dễ thấy ∆ AFM ﺹ  ∆ AMB
Nên AM.AM = AF.AB (3)
Từ (1), (2) và (3) => AM = AI (dpcm)