a) Xét tứ giác CEHD có:
^CEH+^CDH=90 độ+90 độ=180 độ
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=> tứ giác CEHD nội tiếp (đpcm)

b) Xét tứ giác BFEC có:
^BFC=^BEC= 90 độ
=> Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc 90 độ
=> tứ giác BFEC nội tiếp
=> 4 điểm B,C,E,F cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)

c) Xét tam giác AEH và tam giác ADC có:
^AEH=^AMC= 90 độ
^DAC chung
=> tam giác AEH ~ tam giác ADC (g-g)
=> AE/AH=AD/AC
<=> AE.AC=AD.AH (đpcm)
BE và AD là đường cao của tam giác ABC nên
diện tích tam giác ABC= 1/2. AD.BC= 1/2.BE.AC
=> AD.BC=BE.AC (đpcm)

d) Ta có ^CBE=^CAD ( vì cùng phụ với ^ACB)
Mà ^CAD=^CBM (2 góc nt cùng chắn cung MC)
=> ^CBE=^CBM
=> BC là tia phân giác của ^HBM
Tam giác HBM có BC vừa là tia phân giác, vừa là đường cao
=> HBM cân tại B=> BC là đường trung trực của HM
=> H và M đối xứng qua BC (đpcm)

e) +) Xét tứ giác BFHD có:
^BFH+^HDB=90 độ+90 độ=180 độ
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=> tứ giác BFHD nội tiếp
=> ^FDH=^FBH ( 2 góc nt cùng chắn cung FH) (1)
tứ giác CEHD nội tiếp (câu a)
=> ^EDH=^ECH ( 2 góc nt cùng chắn cung EH) (2)
Lại có ^ABE=^ACF ( vì cùng phụ với ^BAC)
hay ^FBH=^HCE (3)
(1),(2),(3) => ^FDH=^EDH
=> DH là tia phân giác của ^FDE (*)

+) Xét tứ giác AEHF có:
^AEH+^AFH=90 độ+90 độ=180 độ
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=> tứ giác AEHF nội tiếp
=> ^HFE=^HAE ( 2 góc nt cùng chắn cung EH) (4)
tứ giác BFHD nội tiếp (CMT)
=> ^HFD=^HBD ( 2 góc nt cùng chắn cung DH) (5)
Lại có ^CAD=^CBE ( vì cùng phụ với ^ACB)
hay ^EAH=^HBD (6)
(1),(2),(3) => ^HFD=^HFE
=> FH là tia phân giác của ^EFD (**)

+) (*),(**) => H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF (đpcm)