Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 và p không thể chia hết cho 4 (1)
a) Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt p + 1 = m² (m ∈ N). Vì p chẵn nên p + 1 lẻ => m² lẻ => m lẻ.
Đặt m = 2k + 1 (k ∈ N).
Ta có m² = 4k² + 4k + 1 => p + 1 = 4k² + 4k + 1
=> p = 4k² + 4k = 4k(k + 1) chia hết cho 4 mâu thuẫn với (1) => p + 1 không phải là số chính phương.

b) p = 2.3.5... là số chia hết cho 3 => p - 1 có dạng 3k + 2 => p - 1 không là số chính phương.
Vậy nếu p là tích n (n > 1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính  phương.