c.
ta sử dụng pp quy nạp
với n = 1, thay vào biểu thức ta được
6^(2.1 + 1) + 5^(1 + 2) = 341 chia hết cho 31
suy ra n = 1 đúng
giả sử đẳng thức đúng với n = k, ta được
6^(2k+1) + 5^(k+2) chia hết cho 31
ta chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, thật vậy ta có
6^(2k + 1 + 2) + 5^(k + 2 + 1)
= 6^(2k + 1).36 + 5^(k + 2).5
= 5.(6^(2k + 1) + 5^(k + 2) + 31.6^(2k + 1) (tách 36 = 31 + 5)
vì 6^(2k + 1) + 5^(k + 2) chia hết cho 31 (theo giả thiết quy nạp)
mà 31.6^(2k + 1) chia hết cho 31
suy ra 6^(2k + 1).36 + 5^(k + 2).5 chia hết cho 31
hay 6^2n+1 + 5^n+2 chia hết cho 31

- Câu 2b là chia hết cho 25 ko p 24 nhé cban <3

b.
n^4 + 6n^3 + 11n^2 +6n
= n.(n^3 + 6n^2 + 11n + 6)
= n.(n + 1).(n + 2).(n + 3)
vì ở đây là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên nó sẽ tồn tại một số chia hết cho 4
mà ở đây cũng chứa 3 số tự nhiên liên tiếp, theo ở câu a
ta được nó sẽ chia hết cho 6
từ đó ta được
n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) chia hết cho 6
(hoặc ở đây, ta có tổng quát, tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!
do đó nó chia hết cho 4! = 24)
suy ra n^4 + 6n^3 + 11n^2 +6n chia hết cho 6 với mọi n