a.

Tam giác ABCABC nội tiếp đường tròn có BCBC là đường kính

⇒ΔABC⇒ΔABC vuông tại CC

Cách 2:

Ta có: OB=OA=OC=R=12ABOB=OA=OC=R=12AB

Mà OO là trung điểm của ABAB

⇒OC⇒OC là trung tuyến 

⇒ΔABC⇒ΔABC vuông tại CC (vì có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền)

b.

Theo đề ta có BC =BMBC =BM

⇒ΔMCB⇒ΔMCB cân tại BB

Mà BMBM là tiếp tuyến

⇒ˆMBO=90o⇒MBO^=90o

⇒ˆCBM=ˆMBO−ˆCBA=90o−30o=60o⇒CBM^=MBO^-CBA^=90o-30o=60o

⇒ΔBMC⇒ΔBMC đều (tam giác cân có một góc 60o60o)

c.

Xét tam giác MOCMOC và MOBMOB có:

OMOM chung

MC=MBMC=MB (tam giác đều)

OC=OB=ROC=OB=R

⇒ΔMOC=ΔMOB(c.c.c)⇒ΔMOC=ΔMOB(c.c.c)

⇒ˆOCM=ˆOBM=90o⇒OCM^=OBM^=90o

⇒OC⊥MC⇒OC⊥MC

⇒MC⇒MC là tiếp tuyến đường tròn (O;R)(O;R)

d.

Ta có OMOM là đường phân giác trong tam giác đều BMCBMC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên đồng thời là đường cao suy ra OM⊥BCOM⊥BC tại EE

màˆCOM=ˆBMO=ˆM2=60o2=30oCOM^=BMO^=M^2=60o2=30o

⇒ˆOCM=90o−30o=60o⇒OCM^=90o-30o=60o

Lại có OC=OD=ROC=OD=R

⇒ΔOCD⇒ΔOCD đều (tam giác cân có góc 60o60o)

⇒CD=OD            (1)⇒CD=OD            (1)

Chứng minh tương tự ta có ΔOBDΔOBD đều

⇒OB=BD            (2)⇒OB=BD            (2)

Mà OC=OB=ROC=OB=R

Kết hợp với (1) và (2) ⇒OB=OC=CD=BD⇒OB=OC=CD=BD

Hay OBCDOBCD là hình thoi

Mặt khác ta có BC=cosˆCBA⋅ABBC=cosCBA^⋅AB

⇒BC=cos30o⋅2R⇒BC=cos30o⋅2R

Mà OD=ROD=R

⇒SOBCD=12⋅OD⋅BC⇒SOBCD=12⋅OD⋅BC

=12⋅R⋅cos30o⋅2R=12⋅R⋅cos30o⋅2R

=R2⋅√32=R2⋅32