Lời giải:

a)

Vì AHAH và BKBK là đường cao của tam giác ABCABC nên ˆAKB=ˆAHB=900AKB^=AHB^=900

Tứ giác AKHBAKHB có hai góc cùng nhìn cạnh ABAB là ˆAKB=ˆAHBAKB^=AHB^ nên AKHBAKHB nội tiếp.

b)

Có: ˆEKC=ˆEHC=900EKC^=EHC^=900

⇒ˆEKC+ˆEHC=1800⇒EKC^+EHC^=1800

Do đó tứ giác KEHCKEHC tổng hai góc đối bằng 18001800 nên là tứ giác nội tiếp.

Gọi II là trung điểm ECEC. Khi đó IE=IC=EC2IE=IC=EC2

Xét tam giác EKCEKC vuông tại KK có II là trung điểm cạnh huyền nên KI=EC2KI=EC2 (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông thì bằng một nửa cạnh huyền)

Hoàn toàn tương tự: HI=EC2HI=EC2

Do đó: IE=IC=IK=IHIE=IC=IK=IH nên trung điểm II của ECEC chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác KEHCKEHC

c)

Ta có: ˆMBH=ˆMBC=ˆMACMBH^=MBC^=MAC^ (góc nội tiếp cùng chắn cung MC)

ˆMAC=ˆKBC=ˆEBH(=900−ˆC)MAC^=KBC^=EBH^(=900−C^)

Do đó: ˆMBH=ˆEBHMBH^=EBH^

Tam giác MBHMBH và EBHEBH có:

⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩ˆMBH=ˆEBHBH chungˆBHM=ˆBHE=900⇒△MBH=△EBH{MBH^=EBH^BH chungBHM^=BHE^=900⇒△MBH=△EBH

⇒MH=EH⇒MH=EH

Vì MH=EH;EM⊥BCMH=EH;EM⊥BC nên BCBC là trung trực của EM