Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 4 (trang 44 SGK Giải tích 12): Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) x³ - 3x² + 5 = 0 ;

b) -2x³ + 3x² - 2 = 0 ;

c) 2x² - x⁴ = -1

Lời giải:

a) x³ - 3x² + 5 = 0     (1)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 5 và trục hoành (y = 0).

Xét hàm số y = x³ - 3x² + 5 ta có:

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

y' = 0 => x = 0 ; x = 2

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 5 chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất. Từ đó suy ra phương trình x³ - 3x² + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm.

b) -2x³ + 3x² - 2 = 0

⇔ 2x³ - 3x² = -2     (2)

Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x³ - 3x² và đường thẳng y = -2.

Xét hàm số y = 2x³ - 3x²

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = 6x² - 6x = 6x(x - 1)

y' = 0 => x = 0 ; x = 1

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = 2x³ - 3x² chỉ cắt đường thẳng y = -2 tại 1 điểm duy nhất. Từ đó suy ra phương trình 2x³ - 3x² = -2 chỉ có 1 nghiệm.

Vậy phương trình -2x³ + 3x² - 2 = 0 chỉ có một nghiệm.

c) 2x² - x⁴ = -1     (3)

Số nghiệm của phương trình (3) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x² - x⁴ và đường thẳng y = -1.

Xét hàm số y = 2x² - x⁴ ta có:

- TXĐ: D = R

- Sự biến thiên:

    + Chiều biến thiên: y' = 4x - 4x³ = 4x(1 - x²)

y' = 0 => x = 0 ; x = ±1

    + Giới hạn:

    + Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = 2x² - x⁴ cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm. Từ đó suy ra phương trình 2x² - x⁴ = -1 có hai nghiệm phân biệt.