a) Xét tứ giác APMQ

AP//QM (AB//QM)

AQ//PM (AC//PM)

⇒⇒Tứ giác APMQ là hình bình hành ( tứ giác có các cặp cạnh song song)

mà MP = MQ (gt)

⇒⇒ APMQ là hình thoi ( hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau )

b) C1

Xét ΔABC:ΔABC:

M là trung điểm BC (AM là đường trung tuyến của ΔABCΔABC)

mặt khác MP//AC (gt)

⇒⇒ P là trung điểm AB ( định lí về đường trung bình của tam giác)

CM tương tự ta cũng có Q là trung điểm AC

⇒⇒ PQ là đường trung bình của ΔABCΔABC ( định nghĩa về đường trung bình trong tam giác)

⇒⇒ PQ//BC ( tính chất đường trung bình trong tam giác)

C2

Xét ΔPBM,ΔQMC:ΔPBM,ΔQMC:

BM = MC ( AM là đường trung tuyến của ΔABCΔABC)

ˆB=ˆMB^=M^ ( 2 góc ở vị trí đồng vị do AB//QM)

ˆM=ˆCM^=C^ ( 2 góc ở vị trí đồng vị do PM//AC)

⇒ΔPBM=ΔQMC(g.c.g)⇒PB=QM⇒ΔPBM=ΔQMC(g.c.g)⇒PB=QM

mà AP=QM (dấu hiệu 1 hình thoi)

⇒AP=PB⇒AP=PB

⇒⇒ P là trung điểm AB (1)

CM tương tự ta cũng có Q là trung điểm AC (2)

từ (1) , (2)

⇒⇒ PQ là đường trung bình ΔABCΔABC

⇒⇒ PQ//BC

C3

Xét ΔABCΔABC

có AM là đường trung tuyến (gt)

lại có AM là đường phân giác của ˆBACBAC^(do APMQ là hình thoi)

⇒ΔABC⇒ΔABC cân tại A

⇒⇒ AM đồng thời là đường cao

⇒AM⊥BC⇒AM⊥BC

mặt khác AM⊥PQAM⊥PQ ( do tính chất đường chéo hình thoi)

từ AM⊥BC,AM⊥PQ⇒AM⊥BC,AM⊥PQ⇒PQ//BC