a. Ta có điểm (0;-2) nằm trên đường thẳng (d) và hệ số góc của đường thẳng (d) là k. Vì vậy, phương trình của đường thẳng (d) có dạng:

y = kx - 2

b. Để chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi k thay đổi, ta sẽ chứng minh rằng điểm cắt của đường thẳng (d) và parabol (P) là một hệ số góc của đường thẳng (d) và nó thay đổi khi k thay đổi.

Để tìm điểm cắt của đường thẳng (d) và parabol (P), ta giải hệ phương trình:

y = -x^2

y = kx - 2

Thay y trong phương trình của parabol vào phương trình đường thẳng ta được:

-x^2 = kx - 2

hay

x^2 + kx - 2 = 0

Áp dụng công thức tính delta, ta có:

Δ = b^2 - 4ac = k^2 + 8 > 0

Vì Δ > 0, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Giả sử ta gọi hai điểm cắt của đường thẳng (d) và parabol (P) là A(x1, y1) và B(x2, y2). Ta có:

x1 + x2 = -k và x1x2 = -2

Theo công thức tính hệ số góc của đường thẳng, ta có:

k = (y2 - y1)/(x2 - x1)

Vậy ta có:

k = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (-x2^2 - (-x1)^2)/(x2 - x1) = -x1 - x2

Kết hợp với x1 + x2 = -k, ta có:

k = -(x1 + x2) = -x1 - x2

Vậy ta thấy rằng hệ số góc k của đường thẳng (d) là một hàm số đồng biến với x1x2. Do đó, khi k thay đổi, x1x2 cũng thay đổi. Vì vậy, điểm cắt của đường thẳng (d) và parabol (P) cũng thay đổi và luôn là hai điểm phân biệt.