Để tìm m để đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng căn 2, ta cần giải phương trình sau:

(3m+1)x + 9m^2 - 1 = 0

Vì điểm cắt trục hoành có hoành độ bằng căn 2, nên ta có x = căn 2. Thay x = căn 2 vào phương trình trên, ta được:

(3m+1)căn 2 + 9m^2 - 1 = 0

Đây là phương trình bậc hai tính theo m, ta có thể giải phương trình này để tìm m. Đầu tiên, ta chuyển các thành phần chứa m sang cùng một vế của phương trình:

9m^2 + 3m - (căn 2)^2 + 1 = 0

9m^2 + 3m - 1 = 0

Áp dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

m = [-3 ± căn(3^2 - 4*9*(-1))] / (2*9)

m = [-3 ± căn(33)] / 18

Vậy ta có hai giá trị của m:

m1 = (-3 + căn(33)) / 18

m2 = (-3 - căn(33)) / 18

Hoặc viết dưới dạng thập phân:

m1 ≈ 0.205

m2 ≈ -0.872

Vậy để đường thẳng y=(3m+1)x + 9m^2 - 1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng căn 2, ta cần lấy một trong hai giá trị m bằng khoảng cách gần nhất từ căn 2 đến hai giá trị m1 và m2 trên. Ta có m1 cách căn 2 gần hơn, vậy m = m1 ≈ 0.205 là giá trị cần tìm.