Ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số dương a, b, c như sau:

(2a^2 + ab + 26^2) + (2b^2 + bc + c^2) + (c^2 + ca + 2a^2)
≥ 2√[2a^2(2b^2 + bc + c^2) + ab^2 + 26^2b^2] + 2√[c^2(c^2 + ca + 2a^2)]

Chú ý rằng dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các tỉ số giữa các số được ghép trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bằng nhau. Do đó, ta cần chọn a, b, c sao cho:

2a^2 : ab : 26^2b = 2b^2 : bc : c^2 = c^2 : ca : 2a^2

Từ a + b + c = 2022, ta suy ra b + c = 2022 - a và c = 2022 - a - b. Thay vào tỉ số ở trên và giải hệ, ta có:

a = 2b
c = 2b

Do đó, a : b : c = 2 : 1 : 2 và a + b + c = 5b = 2022, suy ra b = 404.4. Từ đó, ta tính được a = 808.8 và c = 808.8.

Áp dụng các giá trị này vào biểu thức P, ta có:

P = √2a² + ab +26² + √2b² +bc+2c² +√√2c² +ca+2a
  = √2(2b^2 + 2ab + a^2) + b(c + 2b) + 26^2 + √2(b^2 + 2bc + 2c^2) + √√2(c^2 + ca + 2a^2)
  = √2(5b^2 + 2ab + a^2) + 2b^2 + 26^2 + √2(2bc + 2c^2) + √√2(c^2 + ca + 2a^2)
  = √2(5b^2 + 2ab + a^2) + 2b^2 + 26^2 + √2(2b(2022 - a - b) + 2(2022 - a - b)^2) + √√2((2022 - a - b)^2 + ca + 2a^2)
  = √2(5b^2 + 2ab + a^2) + 2b^2 + 26^2 + √2(404.4a + 404.4b - 2b^2) + √√2((2022 - a - b)^2 + ca + 2a^2)

Tính toán các giá trị này, ta có:

P ≈ 2886.24

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là khoảng 2886.24.