Đầu tiên, vì AD là phân giác của tam giác ABC nên ta có:
AD/DC = AB/BC (1)

a) Chúng ta cần chứng minh OM vuông góc BC tại I. Theo định lý Euler, ta có trung điểm H của cung nhỏ BAC trên đường tròn (O) thì OH⊥BC. Vì M là trung điểm của cung nhỏ BD (vì AD là phân giác) nên M, H, A thẳng hàng và HM=HA.

Do đó, MH là trung tuyến trong tam giác MOA. Theo định lý trung tuyến, ta có: 4*OM²=2*OA²+2*AH²-MA². Mặt khác, OA=OH do cả hai đều là bán kính của đường tròn (O), nên ta có: 4*OM²=4*OA²-MA² => OM²=OA²-MA²/4.

Từ đây, ta thấy OM²+MI²=OA²-MA²/4+MA²/4=OA²=OI² (vì OI cũng là bán kính của đường tròn (O)). Vậy OM vuông góc với BC tại I.

b) Để chứng minh ΔASD cân tại S, ta cần chứng minh AS = DS. Đầu tiên, ta nhận thấy AS là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AS = AT (T là điểm tiếp xúc của BC với đường tròn (O)). Ngoài ra, AT = DT vì D là trung điểm của cung BT. Vậy AS = DS, nên ΔASD là tam giác cân tại S.

Suy ra SD² = SB.SC theo định lý Stewart trong tam giác ABC với dây cắt là SD: AB²*CD+AC²*BD=BC*SD²+BD*CD*AC. Nhưng theo (1), ta có AC*BD = AB*CD, nên SD² = SB.SC.