a) Để chứng minh tứ giác AMCO nội tiếp, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và góc nội tiếp.

Vì Ax là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, nên góc OAM là góc vuông.

Từ góc vuông OAM, ta có:
∠OAM + ∠OMA = 90°

Vì OM > R, nên ta có OM là đoạn cung lớn hơn R trên đường tròn, và do đó ∠OMA là góc nội tiếp tương ứng.

Từ tính chất của góc nội tiếp, ta có:
∠OMA = ∠OCA

Do đó, ta có:
∠OAM + ∠OCA = 90° + ∠OCA = 90°

Vậy ta kết luận tứ giác AMCO là tứ giác nội tiếp và OM vuông góc AC.

b) Để chứng minh tứ giác MNBO là hình bình hành, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc vuông góc và đường thẳng vuông góc.

Vì đường thẳng ON vuông góc với AB tại O, nên ta có:
∠ />
Từ phần a), ta đã chứng minh được tứ giác AMCO là tứ giác nội tiếp và OM vuông góc AC. Do đó, ta có:
∠OMA = 90°

Vì vậy, ta có:
∠ = 90°

Từ đó suy ra, ON // MA và NB // MO.

Do ON // MA và NB // MO, và OM là đường chéo của tứ giác MNBO, nên ta kết luận tứ giác MNBO là hình bình hành.

c) Để chứng minh ba điểm K, E, F thẳng hàng, ta sẽ sử dụng tính chất của đường thẳng và điểm giao nhau.

Gọi K là giao điểm của AN và OM. Từ phần a), ta biết OM vuông góc AC. Vì vậy, ta có:
∠OMA = 90°

Gọi E là giao điểm của MC và ON. Từ phần b), ta biết ON // MA và NB // MO. Vì vậy, ta có:
∠EMC = ∠ = 90°

Gọi F là giao điểm của MN và OC. Từ phần b), ta biết MNBO là hình bình hành, nên ON // MB và NF // OB. Vì vậy, ta có:
∠F = 90°

Do cả ba góc ∠OMA, ∠EMC và ∠FON đều bằng 90°, nên ba điểm K,

 E, F đều nằm trên đường thẳng OF, tức là ba điểm K, E, F thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được ba điểm K, E, F thẳng hàng.