Để tính độ dài AM, ta có thể sử dụng định lý Euclid về tính chất tiếp tuyến chung ngoài.

Gọi D là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến chung ngoài BC với đường tròn (O) và (O').
Theo định lý Euclid, ta biết rằng các tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đều cắt nhau tại một điểm trên đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn nối hai tâm đường tròn (tức là đi qua trung điểm của đoạn MO`). Vì vậy, ta có MD là đường kính của đường tròn (O').

Với giả thiết rằng đường tròn (O') có bán kính 9 cm, ta có MD = 2 * 9 = 18 cm.

Giả sử đường tròn (O) có bán kính r. Theo giả thiết, đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại điểm M. Vì vậy, OM và O'M cùng là phân giác của góc MOO'.

Theo tính chất của phân giác, ta có:
OM/O'M = r/9

Do đó, ta có: OM = (r/9) * 18 = 2r

Tiếp theo, ta xét tam giác MOA. Theo định lý tiếp tuyến, ta có:
MA^2 = MO * MX

Với MO = r và MX = 2r, ta có:
MA^2 = r * 2r = 2r^2

Do đó, AM = sqrt(2r^2) = sqrt(2) * r

Vậy, độ dài AM là sqrt(2) nhân với bán kính của đường tròn (O).