1. Chứng minh MAOI là tứ giác nội tiếp:
Ta có MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R), vậy góc MOA và góc MOB là góc vuông.
Góc MIA và góc MIB là góc nội tiếp trên cùng cung MA và MB tương ứng.
Do đó, tứ giác MAOI là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh OH. OM = OI. OK:
Gọi E là giao điểm của AB và CD.
Ta có tứ giác MAOI là tứ giác nội tiếp, nên góc OMA = góc OIA và góc OMB = góc OIB.
Vì góc MOA và góc MOB là góc vuông, nên góc OIA và góc OIB cũng là góc vuông.
Do đó, tứ giác OIAH và tứ giác OIBH là tứ giác nội tiếp.

Từ đó, ta có:
góc OHA = góc OIA (tứ giác OIAH là tứ giác nội tiếp)
góc OHB = góc OIB (tứ giác OIBH là tứ giác nội tiếp)

Tương tự, ta cũng có:
góc OAM = góc OIM (tứ giác MAOI là tứ giác nội tiếp)
góc OBM = góc OIM (tứ giác MAOI là tứ giác nội tiếp)

Vậy, góc OHA = góc OAM và góc OHB = góc OBM.
Từ đó, ta suy ra tứ giác OHAM và tứ giác OHBM là tứ giác đồng dạng.

Áp dụng định lí đồng dạng tỉ lệ, ta có:
OH/OA = OM/OI và OH/OB = OM/OI

Từ đó, ta suy ra OH.OM = OA.OI và OH.OM = OB.OI
Vậy, OH.OM = OI.OK