Để giải bài toán này bằng cách lập hệ phương trình, ta làm như sau:

Gọi số sản phẩm mà tổ 1 và tổ 2 sản xuất trong tháng thứ nhất lần lượt là \( x \) và \( y \).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình như sau:

1. Tổng sản phẩm của hai tổ trong tháng thứ nhất là:
\[
x + y = 500
\]

2. Tổ 1 vượt mức 10%, do đó sản phẩm của tổ 1 trong tháng thứ hai là:
\[
1.1x
\]

Tổ 2 vượt mức 15%, do đó sản phẩm của tổ 2 trong tháng thứ hai là:
\[
1.15y
\]

Tổng sản phẩm của cả hai tổ trong tháng thứ hai là 564, suy ra:
\[
1.1x + 1.15y = 564
\]

Tóm lại, hệ phương trình cần giải là:
1. \( x + y = 500 \)
2. \( 1.1x + 1.15y = 564 \)

Giải hệ phương trình này để tìm \( x \) và \( y \).

### Bước 1: Từ phương trình 1, thế \( y \) vào phương trình 2:
\[
y = 500 - x
\]
Thay vào phương trình 2:
\[
1.1x + 1.15(500 - x) = 564
\]

### Bước 2: Giải phương trình:
\[
1.1x + 575 - 1.15x = 564
\]
\[
-0.05x + 575 = 564
\]
\[
-0.05x = 564 - 575
\]
\[
-0.05x = -11
\]
\[
x = \frac{-11}{-0.05} = 220
\]

### Bước 3: Tìm \( y \):
\[
y = 500 - x = 500 - 220 = 280
\]

### Kết quả:
- Số sản phẩm của tổ 1 trong tháng thứ nhất: \( x = 220 \)
- Số sản phẩm của tổ 2 trong tháng thứ nhất: \( y = 280 \)

Do đó, tổ 1 sản xuất 220 sản phẩm và tổ 2 sản xuất 280 sản phẩm trong tháng thứ nhất.