a. Ta cần chứng minh tứ giác AEHF và BFEC là nội tiếp.
- Ta biết đường cao AH của tam giác ABC là đường vuông góc với BC tại H. Do đó, góc AHF là góc vuông.
- Tương tự, góc AEH cũng là góc vuông.
=> Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
- Ta biết đường cao CF của tam giác ABC là đường vuông góc với AB tại F. Do đó, góc BFC là góc vuông.
- Tương tự, góc BEC cũng là góc vuông.
=> Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.

b. Ta cần chứng minh FM·FC = FN·FA.
- Vì M là trung điểm của AH, ta có AM = MH.
- Vì N là trung điểm của BC, ta có BN = NC.
- Ta có AM = MH và BN = NC, nên tứ giác ABMC là hình bình hành.
- Do đó, AM // BC và FM là đường cao của tam giác ABM.
- Tương tự, BN // AC và FN là đường cao của tam giác ABN.
- Vì FM // AC và FN // BC, ta có FM·FC = FN·FA.

c. Ta cần chứng minh đường tròn đường kính PQ đi qua giao điểm của FE và MN.
- Gọi K là giao điểm của FE và MN.
- Ta sẽ chứng minh rằng P, Q, K thẳng hàng.
- Ta có: ∠FPD = ∠FAD (do PFDA là tứ giác nội tiếp), và ∠FAD = ∠FKN (do FM // AC và FN // BC).
=> ∠FPD = ∠FKN.
- Tương tự, ∠EDQ = ∠EKM.
- Vì ∠FPD = ∠FKN và ∠EDQ = ∠EKM, ta có tứ giác PFKN và QEDM là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
- Vậy, đường tròn đường kính PQ đi qua giao điểm của FE và MN.