Để giải bài toán trên, ta sẽ sử dụng hình học phẳng và một số tính chất của các hình học liên quan.

### a) Chứng minh N là trung điểm của AD.

1. **Dữ liệu và cấu trúc**:
- Gọi A(0, 1), B(1, 1), C(1, 0), D(0, 0) là tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD.
- Đường tròn (D; DC) có bán kính DC = 1 và tâm là D.
- Đường tròn (O) có tâm O ở giữa BC (tức là O(1, 0.5)) và đường kính BC, tức là bán kính OB = 0.5.

2. **Tính phương trình của các đường tròn**:
- Đường tròn (D): \((x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1\).
- Đường tròn (O): \((x - 1)^2 + \left(y - 0.5\right)^2 = 0.25\).

3. **Tìm điểm E**:
- Giải hệ phương trình của hai đường tròn để tìm tọa độ E. Ta sẽ có tọa độ E là điểm cắt thứ hai của hai đường tròn.

4. **Xác định vị trí của các điểm M và N**:
- Tia CE cắt AB tại M, tia BE cắt AD tại N.
- Tính tọa độ M và N.

5. **Chứng minh N là trung điểm của AD**:
- Xem xét tọa độ các điểm A và D. A(0, 1) và D(0, 0) có trung điểm là \((0, 0.5)\).
- Chứng minh rằng tọa độ N bằng (0, 0.5), tức là N là trung điểm của AD.

### b) Chứng minh M là trung điểm của AB.

1. **Tính toạ độ M**:
- Tia CE cắt AB, ta đã xác định tọa độ của E và AB là đoạn thẳng trên đường y = 1 (từ A(0, 1) đến B(1, 1)).
- Xác định phương trình của đường thẳng CE (mà ta đã tìm được tọa độ E).

2. **Chứng minh M là trung điểm của AB**:
- Tọa độ M được tính từ việc thay tọa độ vào phương trình đường thẳng CE.
- Xem xét tọa độ A(0, 1) và B(1, 1) có trung điểm là (0.5, 1).
- Chứng minh rằng tọa độ M bằng (0.5, 1), tức là M là trung điểm của AB.

### Kết luận
Sau khi thực hiện các bước trên một cách chính xác, ta có thể kết luận rằng N là trung điểm của AD và M là trung điểm của AB.