Để f(x) và g(x) đồng biến trên từng khoảng xác định của chúng, ta cần điều kiện:

f'(x) > 0 và g'(x) > 0 trên từng khoảng xác định.

Để tìm a và b nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên, ta tính đạo hàm của f(x) và g(x):

f'(x) = (x+b-a^2)/(x+b)^2 > 0
g'(x) = (x+a^2-b)/(x+b)^2 > 0

Vì (x+b)^2 > 0 với mọi x, nên ta có điều kiện:

x+b-a^2 > 0 và x+a^2-b > 0 trên từng khoảng xác định.

Với khoảng xác định (k; k+1), ta thử giá trị của x là k và x là k+1. Ta có:

Khi x = k:
(k+b) - a^2 > 0 và (k+a^2) - b > 0
⇒ a^2 < k+b và b < k+a^2. Do đó, a và b nhỏ nhất thỏa mãn là a = 1, b = 2.

Khi x = k+1:
(k+1+b) - a^2 > 0 và (k+1+a^2) - b > 0
⇒ a^2 < k+1+b và b < k+1+a^2

Vì a và b là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên, nên ta cần chọn a^2 là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn k+1+b và b là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn k+1+a^2. Điều này tương đương với:

a^2 = k+b-1, b = k+a^2-1

⇒ a^2 + b = 2k+2a^2+b-2 = 2k+2(k+b-1)+k+a^2-2 = 3k+3a^2-3

Vậy:

T = a₁ + b₁ = 1 + 2 + (3k+3a^2-3)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của T, ta thử các giá trị của k nhỏ nhất có thể. Với k = 1, ta tính được a^2 = 2, b = 2. Vậy:

T = 1 + 2 + (31 + 32 - 3) = 13

Vậy giá trị của biểu thức T là 13.

=> T = 21+5 =26