Để chứng minh rằng các tiếp tuyến của một mặt cầu song song với một đường thẳng cố định nằm trên một mặt trụ xác định, ta sẽ sử dụng định nghĩa của các đường này và xác định mối quan hệ giữa chúng.
Cho một mặt cầu với tâm O và bán kính R, và một đường thẳng d song song với mặt trụ có tâm O và cùng hướng với trục trụ. Giả sử P là một điểm trên mặt cầu, và T là tiếp tuyến của mặt cầu tại điểm P. Ta cần chứng minh rằng tiếp tuyến T song song với đường thẳng d.
Để chứng minh điều này, ta có thể sử dụng lập luận hình học. Gọi M là trung điểm của đoạn OP (trong đó O là tâm mặt cầu và P là điểm trên mặt cầu). Ta có hai tam giác vuông OMP và OPT.
Vì OP là bán kính của mặt cầu, nên OM = MP = R. Vì đường thẳng d song song với mặt trụ, nên OT cũng song song với đường thẳng d.
Vì OM = MP = R và OT song song với đường thẳng d, nên tam giác OMP và OPT đồng dạng (tam giác có cạnh chung song song với nhau). Do đó, góc OTP = góc OMP.
Nhưng góc OTP là góc giữa đường thẳng d và tiếp tuyến T, và góc OMP là góc giữa đường thẳng d và đoạn PM. Vì hai góc này bằng nhau, ta có góc giữa tiếp tuyến T và đoạn PM bằng góc giữa đường thẳng d và đoạn PM.
Nhưng góc giữa đường thẳng d và đoạn PM là góc giữa đường thẳng d và một điểm trên mặt cầu, và trong mặt cầu, đường thẳng nối một điểm trên mặt cầu với tâm của mặt cầu luôn vuông góc với tiếp tuyến của mặt cầu tại điểm đó.
Vậy, từ các bước lập luận trên, ta có được kết luận rằng tiếp tuyến của mặt cầu song song với đường thẳng cố định nằm trên một mặt trụ xác định.