Để chứng minh ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn, ta cần chứng minh rằng các điểm A, B, N, M và A, B, C, I đều nằm trên một đường tròn.

Ta có:

• Tam giác ABC vuông tại A, do đó ta có góc BAC = 90 độ.
• Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N, do đó ta có góc MCN = 90 độ.
• Từ hai góc BAC và MCN bằng nhau, ta suy ra hai tam giác ABC và MCN đồng dạng.
• Vì vậy, ta có {AB}{AC}={MN}{MC}$ (theo tỉ số đồng dạng của hai tam giác).
• Ta cũng có tam giác ABN =tam giác MCN (do cùng chắn cung MN trên đường tròn đường kính MC).
• Từ hai tỉ số trên và góc tương ứng, ta suy ra hai tam giác ABN và MCN đồng dạng.
• Vậy, ta có tam giác ANB = tam giác MNC (do cùng chắn cung BN trên đường tròn đường kính MC).
• Tương tự, ta có tam giác AIB = tam giác ACB (do cùng chắn cung BC trên đường tròn đường kính MC).

Từ các kết quả trên, ta suy ra các điểm A, B, N, M và A, B, C, I đều nằm trên một đường tròn. Vậy, ta đã chứng minh được rằng ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.