Để chứng minh tứ giác MDOE nội tiếp, ta sẽ sử dụng tính chất của tứ giác điều hòa trên đường cao và tứ giác đồng quy.

Đầu tiên, ta chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp. Ta biết rằng trong tam giác nhọn ABC, đường cao BD là đường phân giác của góc ABC, do đó AB = AC. Tương tự, đường cao CE cũng là đường phân giác của góc ACB, nên AC = BC. Kết hợp hai điều này, ta có AB = BC, suy ra tứ giác ABDC là tứ giác cân. Vì tứ giác cân có hai góc đối bằng nhau, nên góc ADB = góc BAC.

Tiếp theo, ta xem xét tứ giác ABMH. Vì O là trung điểm của BC và M là trung điểm của AH, nên theo định nghĩa, OM song song với MH và có độ dài bằng một nửa. Do đó, tứ giác ABMH là hình bình hành và có cạnh AB song song với cạnh MH. 

Từ đó, ta có góc ADB = góc BAC và AB || MH. Khi đó, ta có:
góc ADB + góc BMD = góc BAC + góc BMD = 180° (do tứ giác ABDC nội tiếp)
Vậy tứ giác MDOE là tứ giác nội tiếp.

Tóm lại, ta đã chứng minh được tứ giác MDOE là tứ giác nội tiếp.