Ta có thể giải bài toán bằng cách sử dụng phương pháp đặt giá trị.

Giả sử $x=1$, ta cần tìm giá trị $y$ sao cho $(1^2-2)$ chia hết cho $(1y+2)$, tức là $y+2$ là ước của $-1$. Vì $y$ là số nguyên dương nên $y+2$ phải là một trong các giá trị $-1, 1$. Tuy nhiên, $y+2$ không thể bằng $-1$ vì khi đó $y$ sẽ là một số âm. Do đó, ta có $y+2=1$, hay $y=-1$. Tuy nhiên, $y$ phải là số nguyên dương nên không tồn tại cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn trong trường hợp này.

Giả sử $x=2$, ta cần tìm giá trị $y$ sao cho $(2^2-2)$ chia hết cho $(2y+2)$, tức là $2y+2$ là ước của $2$. Vì $y$ là số nguyên dương nên $2y+2$ phải là một trong các giá trị $-2, -1, 1, 2$. Tuy nhiên, $2y+2$ không thể bằng $-2$ hoặc $-1$ vì khi đó $y$ sẽ là một số âm. Do đó, ta chỉ còn lại hai trường hợp $2y+2=1$ hoặc $2y+2=2$.

- Trường hợp $2y+2=1$: Không tồn tại số nguyên dương $y$ thỏa mãn.

- Trường hợp $2y+2=2$: Ta có $y=0$. Vậy, cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn là $(2,0)$.

Giả sử $x>2$, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để chứng minh rằng không tồn tại cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn. Thật vậy, ta có:

$$x^2-2=x^2+2-4=(x+2)(x-2)$$

Vì $x>2$ nên $x+2>x-2>0$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$$xy+2\geq 2\sqrt{(xy)(2)}=2\sqrt{2x}\sqrt{y}>2\sqrt{2(x+2)}>x+2$$

Do đó, $(x+2)$ không thể chia hết cho $(xy+2)$ nếu $x>2$. Vậy, không tồn tại cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn trong trường hợp này.

Tổng kết lại, ta chỉ có một cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn là $(2,0)$.