Gọi A = 9n(m^2 + mn + n^2 + 16) và B = (m + 2n)^3. Ta cần tìm tất cả các số nguyên dương m, n sao cho A chia hết cho B.

Theo định lý chia dư của Euclide, nếu A chia hết cho B thì số dư của A khi chia cho B cũng phải bằng 0.

Ta có:

A = 9n(m^2 + mn + n^2 + 16)
B = (m + 2n)^3

Áp dụng công thức khai triển khối lập phương, ta có:

B = m^3 + 6m^2n + 12mn^2 + 8n^3

Ta thấy rằng B là một đa thức bậc ba theo m và n, vì vậy ta có thể giải phương trình B = 0 để tìm các giá trị của m và n.

Đặt y = m/n, ta có:

B = n^3(y^3 + 6y^2 + 12y +8)

Để B chia hết cho n^3, ta cần y^3 + 6y^2 + 12y + 8 chia hết cho n^3.

Ta thấy rằng y^3 + 6y^2 + 12y + 8 > 0 với mọi giá trị của y, vì vậy ta có thể áp dụng định lý chia dư của Euclide để tìm các giá trị của n.

Gọi r là số dư khi y^3 + 6y^2 + 12y + 8 chia cho n^3, ta có:

y^3 + 6y^2 + 12y + 8 = qn^3 + r

Trong đó q là số nguyên và 0 ≤ r < n^3.

Ta thấy rằng nếu n > 2 thì n^3 > 8, vì vậy qn^3 + r < y^3 + 6y^2 + 12y + 8. Điều này suy ra r > 0, vì nếu r = 0 thì qn^3 = y^3 + 6y^2 + 12y + 8, mà y^3 + 6y^2 + 12y + 8 không chia hết cho n^3 với mọi giá trị của y và n > 0.

Vì r < n^3, ta có r = a.n^2 + b.n + c với a, b, c là các số nguyên và 0 ≤ c < n.