Ta có thể áp dụng định lý Fermat nhỏ để giải bài toán này. Để làm được điều đó, ta cần phân tích đa thức trên thành tích của các đa thức bậc nhất và đa thức bậc hai.

n^3 + 4n^2 - 20n - 48 = (n - 4)(n^2 + 8n + 12)

Để đa thức trên chia hết cho 125, ta cần đồng thời hai điều kiện sau:

1. (n - 4) chia hết cho 5^3 = 125, tức là n = 4 + 125k với k là số nguyên.

2. (n^2 + 8n + 12) chia hết cho 5^3 = 125.

Ta sẽ xét điều kiện thứ hai. Để đơn giản, ta sẽ thay n = 4 + 125k vào đa thức n^2 + 8n + 12:

n^2 + 8n + 12 = (4 + 125k)^2 + 8(4 + 125k) + 12

= 125^2k^2 + 1000k + 44

Ta cần tìm số nguyên k lớn nhất sao cho 125^2k^2 + 1000k + 44 chia hết cho 125. Ta thấy rằng 125^2k^2 chia hết cho 125^3, do đó ta có thể bỏ qua nó và chỉ xét phần còn lại:

1000k + 44 chia hết cho 125

8k + 4 chia hết cho 125

8k chia hết cho 125

k chia hết cho 125/8

Vậy k lớn nhất thỏa mãn là k = 125/8 - 1 = 14. Ta thay k = 14 vào n = 4 + 125k và được n = 1754.

Vậy n lớn nhất để n^3 + 4n^2 - 20n - 48 chia hết cho 125 là 1754.