a) Ta có $\angle BAD = \angle CAD$ (do $AD$ là đường phân giác) và $\angle ABD = \angle ACD = 90^\circ$, nên tam giác $ABD$ đồng dạng với tam giác $ACD$. Do đó, ta có $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CD}$.

Mặt khác, tam giác $BDE$ vuông tại $D$ nên $\dfrac{BD}{DE} = \dfrac{AB}{AC}$. Từ đó suy ra $\dfrac{BD}{DE} = \dfrac{BD+DE}{2DE} = \dfrac{BE}{2DE}$.

Vậy $AD$ là đường trung trực của $BE$.

b) Ta có $\angle ADF = \angle ADC$ (do $AD$ là đường trung trực của $BE$) và $\angle AFD = \angle CDE = 90^\circ$, nên tam giác $ADF$ đồng dạng với tam giác $ADC$.

Vậy tam giác $ADF$ cũng vuông tại $D$ và bằng tam giác $ADC$.

c) Ta có $BA+BC = AB+BC > AC = AE+EC \geq DE$.

Vậy $BA+BC > DE+AC$.