Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và định lí phân giác góc.

1. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC và AH:
- Theo định lí Pythagoras, ta có: HB^2 + HC^2 = BC^2
=> 3,6^2 + 6,4^2 = BC^2
=> BC = √(3,6^2 + 6,4^2) ≈ 7,3 cm

- Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC.
=> AH = BC = 7,3 cm

2. Tính góc B và góc C:
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc B = 90°.
- Góc C = 180° - góc B - góc A = 180° - 90° - góc A = 90° - góc A.

3. Tính độ dài các đoạn thẳng HM và HN:
- Vì HM vuông góc với AB, ta có: HM = HB = 3,6 cm.
- Vì HN vuông góc với AC, ta có: HN = HC = 6,4 cm.

4. Chứng minh AB x AB = AC x AM:
- Ta có: AB x AB = (AB)^2 = (AH + HB)^2 = (AH + HM)^2 = (AH + HB)^2 = (AH + HN)^2 = (AH + HC)^2 = (AH + AC)^2 = AC x AC = AC x AM.

5. Tính độ dài đoạn thẳng BK:
- Vì AK là tia phân giác góc BAC, ta có: góc BAK = góc CAK.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc B = 90°.
- Vì góc BAK = góc CAK, nên góc BAK = góc BAC/2 = 45°.
- Vì tam giác ABK vuông tại B, ta có: góc BKA = 90° - góc BAK = 90° - 45° = 45°.
- Vì tam giác ABK vuông tại B, ta có: BK = AB x sin(góc BKA) = AB x sin(45°) = AB/√2.

6. Tính độ dài đoạn thẳng SAHK:
- Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có: góc BAC = 90°.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có: góc B = 90°.
- Vì góc BAC + góc B + góc ABC = 180°, nên góc ABC = 180° - góc BAC - góc B = 180° - 90° - 90° = 0°.
- Vì góc ABC = 0°, nên tam giác ABC là tam giác cân tại A.
- Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, ta có: SA = SK.

Tóm lại, độ dài các đoạn thẳng là:
- AB ≈ 7,3 cm
- AC ≈ 7,3 cm
- AH = BC = 7,3 cm
- góc B = 90°
- góc C = 90° - góc A
- HM = HB = 3,6 cm
- HN = HC = 6,4 cm
- AB x AB = AC x AM
- BK = AB/√2
- SA = SK