Để chứng minh rằng I là số nguyên, ta sẽ chứng minh rằng mỗi thành phần của I là số nguyên.

Ta có: I = (3/4 - 81)(3^2/5 - 81)...(3^2000/2003 - 81)

Đặt a_n = 3^n/(n+3) - 81

Ta cần chứng minh rằng a_n là số nguyên với mọi n từ 1 đến 2000.

Đầu tiên, ta thấy rằng a_1 = 3/(1+3) - 81 = 3/4 - 81 = -80.25 là số nguyên.

Giả sử a_k là số nguyên với mọi k từ 1 đến n, tức là a_1, a_2, ..., a_n đều là số nguyên.

Ta sẽ chứng minh rằng a_(n+1) cũng là số nguyên.

Ta có: a_(n+1) = 3^(n+1)/(n+4) - 81

Ta có thể viết lại a_(n+1) dưới dạng tổng hai phân số như sau:

a_(n+1) = (3^n * 3)/(n+4) - 81 = (3^n/(n+3) - 81) + (3^n/(n+4) - 3^n/(n+3))

Vì a_n là số nguyên và 3^n/(n+3) - 81 là số nguyên (giả sử đúng theo giả thiết), nên ta chỉ cần chứng minh rằng 3^n/(n+4) - 3^n/(n+3) là số nguyên.

Ta có: 3^n/(n+4) - 3^n/(n+3) = 3^n * [(n+3) - (n+4)] / [(n+4)(n+3)] = -3^n / [(n+4)(n+3)]

Vì 3^n là số nguyên và (n+4)(n+3) cũng là số nguyên, nên -3^n / [(n+4)(n+3)] cũng là số nguyên.

Do đó, a_(n+1) là số nguyên.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng mỗi thành phần của I là số nguyên.

Vì vậy, I = (3/4 - 81)(3^2/5 - 81)...(3^2000/2003 - 81) là số nguyên.