Cho hình thang ABCD có AB // CD, CD = 3AB. Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên CD

a) Ta có AB//CD và CD=3AB, suy ra DH=CK (vì DH là hình chiếu của D lên AB và CK là hình chiếu của C lên AB).

b) Tứ giác ABCK là hình bình hành. Vì AB//CD và DH=CK, nên ta có hai cạnh đối nhau bằng nhau và hai cạnh còn lại cũng bằng nhau.

c) Gọi M là trung điểm của AD và N là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh rằng I, P và M thẳng hàng.

Theo định lí Menelaus, áp dụng cho tam giác ABC và đường thẳng BD, ta có:

$\frac{AI}{IB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1$

Vì AB//CD và CD=3AB, suy ra BD=2AB. Khi đó, ta có:

$\frac{AI}{IB} \cdot \frac{2AB}{3AB} \cdot \frac{CK}{KA} = 1$

$\frac{AI}{IB} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{CK}{KA} = 1$

$\frac{AI}{IB} = \frac{3}{2} \cdot \frac{KA}{CK}$

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng AH, ta có:

$\frac{BI}{IA} \cdot \frac{AH}{HC} \cdot \frac{CK}{KB} = 1$

$\frac{BI}{IA} = \frac{3}{2} \cdot \frac{KB}{CK}$

Từ hai biểu thức trên, ta có:

$\frac{AI}{IB} \cdot \frac{BI}{IA} = \frac{3}{2} \cdot \frac{KA}{CK} \cdot \frac{KB}{CK}$

$\frac{AI}{IB} \cdot \frac{BI}{IA} = \frac{3}{2} \cdot \frac{KA}{KB}$

Vậy theo định lí Menelaus, ta có I, P và M thẳng hàng. Tương tự, ta có thể chứng minh I, P và N thẳng hàng.

Vậy đường thẳng IP đi qua trung điểm AD và BC.