Cho hình bình hành ABCD, gọi M, N là lần lượt trung điểm của AB và CD

a, Để chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành, ta cần chứng minh hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm.

Gọi P là giao điểm của AC và BD. Ta có:
- Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên MN song song với AB và CD.
- Vì M là trung điểm của AB, nên MP = AP.
- Vì N là trung điểm của CD, nên NP = CP.
- Vì BE = DF, nên EP = FP.

Do đó, ta có hai tam giác AMP và CNP có:
- MP = AP
- NP = CP
- EP = FP

Theo định lí hai đường chéo của tứ giác AMPN cắt nhau tại trung điểm, ta có MP cắt NP tại trung điểm của MN, tức là trung điểm của AC và BD. Vậy tứ giác AMCN là hình bình hành.

b, Để chứng minh tứ giác MENF là hình bình hành, ta cần chứng minh hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm.

Gọi Q là giao điểm của ME và NF. Ta có:
- Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên MN song song với AB và CD.
- Vì M là trung điểm của AB, nên MQ = NQ.
- Vì N là trung điểm của CD, nên NQ = FQ.
- Vì BE = DF, nên EQ = FQ.

Do đó, ta có hai tam giác MEQ và NFQ có:
- MQ = NQ
- NQ = FQ
- EQ = FQ

Theo định lí hai đường chéo của tứ giác MENF cắt nhau tại trung điểm, ta có MQ cắt NQ tại trung điểm của MN, tức là trung điểm của ME và NF. Vậy tứ giác MENF là hình bình hành.