Ta có tam giác ABC vuông tại A với A là điểm vuông góc. Gọi B có tọa độ (0, 0) và C có tọa độ (b, 0). Tọa độ A sẽ là (0, h) với h là chiều cao từ A xuống cạnh BC.

Khi M nằm trên đoạn BC, ta có tọa độ của M là (x_M, 0) với 0 < x_M < b. Bây giờ, chúng ta sẽ xác định tọa độ của các điểm D, E và H.

1. **Xác định các điểm:**
- **Điểm D:** Từ M kẻ MD vuông góc với AB. Đường thẳng AB có phương trình \( y = -\frac{h}{b}x + h \). Từ đó, tìm phương trình đường vuông góc với AB đi qua M.
- **Điểm E:** Từ M kẻ ME vuông góc với AC. Đường thẳng AC có phương trình \( y = \frac{h}{b}x \). Tương tự, tìm phương trình của đường vuông góc với AC đi qua M.
- **Điểm H:** Là chân đường cao từ A xuống BC, vì điểm A có tọa độ (0, h) nên H sẽ có tọa độ (0, 0).

2. **Chứng minh góc DHE = 90°:**
- Để chứng minh góc DHE = 90°, ta cần chứng minh rằng hai đoạn DM và HE vuông góc với nhau. Nếu MD và ME là các đường vuông góc với hai đường thẳng AB và AC tương ứng, thì theo định lý về góc tạo bởi hai đường vuông góc, ta có thể chứng minh rằng DHE sẽ vuông góc.
- Cụ thể, nếu lấy góc giữa hai đường thẳng MD và HE, ta thấy rằng HE là đoạn nối giữa H và E (có độ dốc là một tỷ lệ của h b), MD sẽ có độ dốc là một tỷ lệ của -h/b. Bằng cách tính toán, ta thấy rằng tích vô hướng giữa hai vector tương ứng với các đường này bằng 0, từ đó khẳng định rằng góc giữa chúng là 90°.

3. **Tối ưu hóa DE:**
- Đoạn DE (nối hai điểm D và E) sẽ phụ thuộc vào vị trí của M trên BC. Để tìm M để DE nhỏ nhất, ta nên xét đến khoảng cách này theo vị trí này. Bạn có thể sử dụng các công cụ hình học phẳng, hoặc tính toán khoảng cách giữa hai điểm D và E theo tọa độ của M.
- Một phương pháp thường gặp là sử dụng nguyên lý phản xạ: phản xạ điểm E qua đường cao AH (với điểm A) để xác định M sao cho DE trở thành đoạn thẳng nhỏ nhất, có thể tìm ra M khi M ở giữa đoạn BC.

Kết luận: Để hoàn tất câu hỏi này, cần thực hiện các bước tính toán cụ thể hơn cho tọa độ các điểm M, D, E và H dựa trên các phương trình đã lập, từ đó tìm ra tọa độ M trên BC để DE là nhỏ nhất. Thông thường, phương pháp tính đạo hàm hoặc hình học phẳng sẽ rất hữu ích trong bước này.