Để chứng minh C = -1/2x^4 - 2.5x^2 - 3 âm với mọi giá trị của biến x, ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích hàm số.

Đầu tiên, ta xét hàm số f(x) = -1/2x^4 - 2.5x^2 - 3. Ta sẽ tìm các điểm cực trị của hàm số này.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số f(x).
f'(x) = -2x^3 - 5x

Bước 2: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị.
-2x^3 - 5x = 0
x(-2x^2 - 5) = 0
x = 0 hoặc -2x^2 - 5 = 0

Giải phương trình -2x^2 - 5 = 0:
-2x^2 = 5
x^2 = -5/2
Phương trình này không có nghiệm thực.

Vậy, ta chỉ có một điểm cực trị là x = 0.

Bước 3: Xét sự biến thiên của hàm số f(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm cực trị và các điểm xác định hàm số.

- Khi x < 0, ta chọn x = -1. Ta có:
f(-1) = -1/2(-1)^4 - 2.5(-1)^2 - 3
= -1/2 - 2.5 - 3
= -1/2 - 5/2 - 6/2
= -12/2
= -6
Vậy, f(x) < 0 với x < 0.

- Khi 0 < x < 1, ta chọn x = 1/2. Ta có:
f(1/2) = -1/2(1/2)^4 - 2.5(1/2)^2 - 3
= -1/2(1/16) - 2.5(1/4) - 3
= -1/32 - 5/8 - 3
= -1/32 - 20/32 - 96/32
= -117/32
Vậy, f(x) < 0 với 0 < x < 1.

- Khi x > 1, ta chọn x = 2. Ta có:
f(2) = -1/2(2)^4 - 2.5(2)^2 - 3
= -1/2(16) - 2.5(4) - 3
= -8 - 10 - 3
= -21
Vậy, f(x) < 0 với x > 1.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng hàm số f(x) = -1/2x^4 - 2.5x^2 - 3 âm với mọi giá trị của biến x.